Как отмечают положительное направление координатной прямой. Урок математики "координатная прямая"

В конце главы 1 мы говорили о том, что в курсе алгебры нам с вами надо учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая или, как чаще говорят математики, аналитическая модель), графически (графическая или геометрическая модель). Весь первый раздел учебника (главы 1-5) был посвящен изучению математического языка, с помощью которого описываются аналитические модели.

Начиная с главы 6 мы будем изучать не только новые аналитические, но и графические (геометрические) модели. Они строятся с помощью координатной прямой, координатной плоскости . Эти понятия вам немного знакомы из курса математики 5-6 классов.

Прямую /, на которой выбрана начальная точка О (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок , т. е. отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление, называют координатной прямой, или координатной осью (рис. 7); употребляют также термин «ось х".

Каждому числу соответствует единственная точка прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 8), которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует точка Р (см. рис. 8), которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.

Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.

Например, точка К, удаленная от точки О на расстояние 5,4 в положительном (заданном) направлении, соответствует числу 5,4, а точка N, удаленная от точки О на расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует числу - 2,1 (см. рис. 8).

Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Так, на рис. 8 точка К имеет координату 5,4; точка Р - координату -4; точка М - координату 3,5; точка N - координату -2,1; точка О - координату 0 (нуль). Отсюда и происходит название - «координатная прямая». Образно выражаясь, координатная прямая - это густо заселенный дом, жильцы этого дома - точки, а координаты точек - это номера квартир, в которых живут точки- жильцы.

Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точку числом, а число - точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да, есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А - с координатой о и В - с координатой Ь (обычно в таких случаях пишут короче:
А(а), В(Ь)). Пусть нам надо найти расстояние d между точками А и В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометрические измерения , достаточно воспользоваться готовой формулой d = (а - b) (вы изучали ее в 6 классе).
Так, на рисунке 8 имеем:

Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая координату а», использовать короткую фразу: «точка а», и, соответственно, на чертеже рассматриваемую точку обозначать ее координатой. Так, на рисунке 9 изображена координатная прямая, на которой отмечены точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5,4.

Координатная прямая дает нам возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, например, число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записывается так: а < b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Впрочем, и алгебраический, и геометрический языки - это разновидности одного и того же математического языка, который мы с вами изучаем.

Познакомимся еще с несколькими элементами математического языка, которые связаны с координатной прямой.

1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают (a, +oo), где знак +оо читается: «плюс бесконечность»; оно характеризуется неравенством х > а (под дг понимается любая точка луча).

Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит, а eсли же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут х > a или и, соответственно, на чертеже точку b закрашивать (рис. 13);

для (- оо, b) также будем употреблять термин луч.

3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и b, причем а < b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Это множество (чисел) называют интервалом и обозначают (а, b).

Оно характеризуется строгим двойным неравенством a < х < b (под х понимается любая точка интервала).

Обратите внимание: интервал (а, b) есть пересечение (общая часть) двух открытых лучей (-оо, b) и (а, + оо) - это хорошо видно на рисунке 15.

Если к интервалу (а, b) добавить его концы, т. е. точки a и b, то получится отрезок [а, b] (рис. 16),

который характеризуется нестрогим двойным неравенством а < х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Отрезок [а, b] есть пересечение (общая часть) двух лучей (-оо, b] и и который характеризуется с помощью двойных неравенств: a < х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Итак, мы ввели пять новых терминов математического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: числовые промежутки.

Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для нее используют обозначение (-оо, +оо).

Математика за 7 класс бесплатно скачать , планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Утверждать, что вы знаете математику, невозможно, если вы не умеете строить графики, изображать неравенства на координатной прямой, работать с осями координат. Визуальная составляющая в науке жизненно необходима, ведь без наглядных примеров в формулах и вычислениях порой можно сильно запутаться. В данной статье мы посмотрим, как работать с осями координат, и научимся строить простейшие графики функций.

Применение

Координатная прямая - это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.

Главная ценность такой прямой - это наглядность. Поскольку математика - это наука, в которой требуется высокий уровень абстрактности мышления, графики помогают в представлении объекта в реальном мире. Как он себя ведет? В какой точке пространства будет находиться через несколько секунд, минут, часов? Что можно сказать о нём в сопоставлении с другими объектами? Какой скоростью он обладает в случайно выбранный момент времени? Как охарактеризовать его движение?

А про скорость речь идёт неспроста - именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.

Одномерный график

Существует понятие многомерности. В достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.

Что можно увидеть с помощью точек на оси, если она всего одна? Можно увидеть размер объекта, его положение в пространстве относительно некоторого «нуля», т. е. точки, выбранной в качестве начала отсчёта.

Изменение параметров с течением времени увидеть не удастся, так как все показания будут отображаться для одного конкретного момента. Однако с чего-то надо начинать! Итак, приступим.

Как построить координатную ось

Для начала требуется провести горизонтальную линию - это и будет наша ось. С правой стороны «заострим» её, чтобы она была похожа на стрелку. Таким образом мы обозначим направление, в котором числа будут увеличиваться. В сторону уменьшения стрелка обычно не ставится. Традиционно ось направлена вправо, поэтому мы просто последуем данному правилу.

Поставим нулевую отметку, которая будет отображать начало координат. Это то самое место, от которого ведется отсчёт, будь то размер, вес, скорость или что угодно другое. Кроме нуля, мы обязательно должны обозначить так называемую цену деления, т. е. ввести стандарт единицы, в соответствии с которой будем откладывать на оси те или иные величины. Это обязательно нужно делать, чтобы уметь находить длину отрезка на координатной прямой.

Через равное расстояние друг от друга поставим точки или «зарубки» на линии, а под ними напишем соответственно 1,2,3 и так далее. И вот, всё готово. Но с получившимся графиком надо ещё научиться работать.

Виды точек на координатной прямой

С первого взгляда на предложенные в учебниках рисунки становится понятно: точки на оси могут быть закрашенные или не закрашенные. Вы думаете, это случайность? Вовсе нет! «Сплошная» точка используется при нестрогом неравенстве - том, которое читается как «больше или равно». Если же нужно строго ограничить интервал (например, «икс» может принимать значения от нуля до единицы, но не включает её), мы воспользуемся «полой» точкой, то есть, по сути, маленьким кружком на оси. Надо заметить, что ученики не очень любят строгие неравенства, потому что с ними сложнее работать.

В зависимости от того, какие точки вы используете на графике, будут называться и построенные интервалы. Если неравенство с двух сторон нестрогое, то мы получим отрезок. Если с одной стороны он окажется «открыт», то называться будет полуинтервалом. Наконец, если часть прямой ограничена с двух сторон полыми точками, она будет называться интервалом.

Плоскость

При построении двух прямых на мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная - расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.

Простейший график на такой плоскости - прямая, она отражает функцию Y(X) = aX + b. Линия изгибается? Это означает, что объект меняет свои характеристики в процессе исследования.

Представьте, вы стоите на крыше здания и держите в вытянутой руке камень. Когда вы отпустите его, он полетит вниз, начав своё движение с нулевой скорости. Но уже через секунду он будет преодолевать 36 километров в час. Камень продолжит ускоряться и дальше, и чтобы нарисовать его движение на графике, вам потребуется замерить его скорость в несколько моментов времени, выставив точки на оси в соответствующих местах.

Отметки на горизонтальной координатной прямой по умолчанию получают название X1, X2,X3, а на вертикальной - Y1, Y2,Y3 соответственно. Проецируя их на плоскость и находя пересечения, мы находим фрагменты результирующего рисунка. Соединив их одной линией, мы получим график функции. В случае с падающим камнем квадратичная функция будет иметь вид: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Конечно, не обязательно выставлять рядом с делениями на прямой целочисленные значения. Если вы рассматриваете движение улитки, которая ползет со скоростью 0,03 метра в минуту, выставьте в качестве значений на координатной прямой дроби. В данном случае задайте цену деления как 0,01 метра.

Особенно удобно выполнять такие чертежи в тетради в клетку - здесь сразу видно, хватит ли места на листе для вашего графика, не выйдете ли вы за поля. Свои силы рассчитать несложно, ведь ширина клетки в такой тетради - 0,5 сантиметра. Понадобилось - уменьшили рисунок. От изменения масштаба графика он не потеряет и не изменит своих свойств.

Координаты точки и отрезка

Когда на уроке дается математическая задача, в ней могут содержаться параметры различных геометрических фигур как в виде длин сторон, периметра, площади, так и в виде координат. В этом случае может потребоваться как построить фигуру, так и получить какие-то данные, связанные с ней. Возникает вопрос: как найти на координатной прямой требуемую информацию? И как построить фигуру?

Например, речь идёт о точке. Тогда в условии задачи будет фигурировать заглавная буква, а в скобках будут стоять несколько цифр, чаще всего две (это значит, считать мы будем в двухмерном пространстве). Если в скобках три числа, записанные через точку с запятой или через запятую, то это трехмерное пространство. Каждое из значений - это координата на соответствующей оси: сначала по горизонтальной (X), затем - по вертикальной (Y).

Помните, как построить отрезок? Вы проходили это на геометрии. Если есть две точки, то между ними можно провести прямую. Их-то координаты и указываются в скобках, если в задаче фигурирует отрезок. Например: A(15, 13) - B(1, 4). Чтобы построить такую прямую, нужно на координатной плоскости найти и отметить точки, а затем их соединить. Вот и всё!

А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.

Расчёты

Допустим, есть некоторый объект, положение которого по оси X характеризуется двумя числами: начинается он в точке с координатой (-3) и заканчивается в (+2). Если мы хотим узнать длину этого предмета, то должны вычесть из большего числа меньшее. Обратите внимание, что отрицательное число поглощает знак вычитания, потому что «минус на минус даёт плюс». Итак, мы складываем (2+3) и получаем 5. Это и есть требуемый результат.

Другой пример: нам дана конечная точка и длина объекта, но не дана начальная (и требуется её найти). Пусть положение известной точки будет (6), а размер изучаемого предмета - (4). Вычитая длину из конечной координаты, мы получим ответ. Итого: (6 - 4) = 2.

Отрицательные числа

Нередко требуется на практике работать с отрицательными значениями. В этом случае мы будем уходить по оси координат влево. Например, объект высотой 3 сантиметра плавает в воде. На треть он погружен в жидкость, на две трети находится на воздухе. Тогда, выбрав в качестве оси поверхность воды, мы с помощью простейших арифметических вычислений получаем два числа: верхняя точка объекта имеет координату (+2), а нижняя - (-1) сантиметр.

Нетрудно заметить, что в случае с плоскостью у нас образуется четыре четверти координатной прямой. Каждая из них имеет свой номер. В первой (верхней правой) части будут располагаться точки, имеющие две положительные координаты, во второй - слева сверху - значения по оси «икс» будут отрицательные, а по «игрек» - положительные. Третья и четвертая отсчитываются дальше против часовой стрелки.

Важное свойство

Вы знаете, что прямую можно представить как бесконечное множество точек. Мы можем просмотреть сколь угодно внимательно любое количество значений в каждую сторону оси, но не встретим повторяющихся. Это кажется наивным и понятным, но проистекает то утверждение из важного факта: каждому числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.

Заключение

Помните, что любые оси, фигуры и по возможности графики необходимо строить по линейке. Единицы измерений были придуманы человеком не случайно - допустив погрешность при черчении, вы рискуете увидеть уже не то изображение, которое должно было получиться.

Будьте внимательны и аккуратны в построении графиков и вычислениях. Как и любая наука, изучаемая в школе, математика любит точность. Приложите немного старания, и хорошие оценки не заставят себя долго ждать.

На данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем ее основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

1) Выбрать точку начала отсчета;

2) Выбрать направление;

3) Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 - координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О - начало отсчета, масштаб - единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:

Заданы два числа: (знак «+», модуль равен трем) и (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число называется координатой А, число - координатой В.

Говорят также, что образом числа есть точка С с координатой , а образом числа есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой - это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число будет иметь знак «+».

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

-уметь расставлять точки и их координаты ;

-понимать сравнение чисел :

выражение означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пусть заданы точки М(х М) и N(x N):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как

-Определение расстояния между точками .

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

Еще одно очень важная задача - это геометрическое описание числовых множеств .

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число - в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 - четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа - это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел

Построить его геометрическую модель:

1) Выбрать точку начала отсчета;

2) Выбрать направление;

3) Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 - координатная.

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Здесь число называется координатой А, число - координатой В.

Говорят также, что образом числа есть точка С с координатой , а образом числа есть точка D с координатой :

Пусть дана точка М:

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

К типовым задачам относятся:

-уметь расставлять точки и их координаты ;

-понимать сравнение чисел :

выражение означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

Пусть заданы точки М(х М) и N(x N):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как

-Определение расстояния между точками .

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

Еще одно очень важная задача - это геометрическое описание числовых множеств .

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

Рассмотрим пример обратной задачи.

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству и :

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 - четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа - это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел

Построить его геометрическую модель:

Координатная прямая.

Возьмем обычную прямую. Назовем ее прямая x (рис.1). Выберем на этой прямой точку отсчета O, а также стрелкой укажем положительное направление этой прямой (рис. 2). Таким образом, справа от точки O у нас будут положительные числа, а слева – отрицательные. Выберем масштаб, то есть размер отрезка прямой, равный единице. У нас получилась координатная прямая (рис. 3). Каждому числу соответствует определенная единственная точка на этой прямой. Причем это число называют координатой этой точки. Поэтому прямая и называется координатной. А точка отсчета O называется началом координат.

К примеру, на рис. 4 точка B находится на расстоянии 2 правее начала координат. Точка D находится на расстоянии 4 левее начала координат. Соответственно точка B имеет координату 2, а точка D координату -4. Сама точка O, будучи точкой отсчета, имеет координату 0 (нуль). Записывается это обычно так: O(0), B(2), D(-4). А чтобы постоянно не говорить «точка D с координатой такой-то», говорят проще: «точка 0, точка 2, точка -4». А саму точку при этом достаточно обозначить ее координатой (рис. 5).

Зная координаты двух точек координатной прямой, мы всегда можем вычислить расстояние между ними. Допустим, у нас две точки A и B с координатами a и b соответственно. Тогда расстояние между ними будет |a - b|. Запись |a - b| читается как «a минус b по модулю» или «модуль разности чисел a и b».

Что такое модуль?

Алгебраически модуль числа x – это неотрицательное число. Обозначается как |x|. Причем если x > 0, то |x| = x. Если x < 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Геометрически модуль числа x – это расстояние между точкой и началом координат. А если есть две точки с координатами x1 и x2, то |x1 - x2| - это расстояние между этими точками.

Модуль также называют абсолютной величиной .

О чем еще мы можем сказать, когда речь идет о координатной прямой? Конечно о числовых промежутках.

Виды числовых промежутков.

Допустим у нас два числа a и b. Причем b > a (b больше a). На координатной прямой это означает, что точка b находится правее точки a. Заменим в нашем неравенстве b на переменную x. То есть x > a. Тогда x – это все числа, которые больше числа a. На координатной прямой это соответственно все точки правее точки a. Эта часть линии заштрихована (рис. 6). Такое множество точек называют открытым лучом , а данный числовой промежуток обозначают (a; +∞), где знак +∞ читается как «плюс бесконечность». Обратите внимание, что сама точка a не входит в данный промежуток и обозначается светлым кружком.

Рассмотрим также случай, когда x ≥ a. Тогда x – это все числа, которые больше или равны a. На координатной прямой это все точки правее а, а также сама точка a (на рис. 7 точка a уже обозначается темным кружком). Такое множество точек называют замкнутым лучом (или просто лучом), а данный числовой промежуток обозначают .